В 1973 году окончил школу. В 1981 году окончил институт, отделение «Бухучет в промышленности» по специальности экономист-финансист, в 2001-м - Украинскую академию внешней торговли (специальность - "международное право"). Кандидат экономических наук. Защитил диссертацию на тему «Экономические методы регулирования промышленной переработки сельскохозяйственной продукции» (Институт аграрной экономики УААН, 2001).
После службы в Советской Армии и получения диплома экономиста в киевском нархозе три года проработал старшим экономистом финансового отдела Киевского горисполкома.
Затем - с 1984 по 1990 гг. - занимал посты заместителя заведующего, начальника инспекции государственных доходов финотдела Подольского райисполкома и заведующего финотделом Минского райсовета Киева.
С 1990-го - в налоговой службе. Шесть лет руководил ГНИ Минского района столицы. Еще два года возглавлял Государственную налоговую администрацию Киева.
С декабря 1998 по апрель 2005 гг. Брезвин занимал пост заместителя председателя ГНА Украины, главы ГНА в Киеве. После прихода к власти "оранжевой" команды и кадровой революции в фискальном ведомстве Брезвин остался руководителем столичной налоговой, но без предыдущей солидной приставки "заместитель председателя ГНАУ". А в сентябре 2005-го, после очередной широкомасштабной "кадровой революции" в верхах, вообще оставил службу в налоговой.
Вернулся в ГНАУ в августе 2006 года после формирования правительства Виктора Януковича. Сразу - в кресло председателя.
24 декабря 2007-го, вскоре после формирования коалиционного правительства во главе с Юлией Тимошенко, подал в отставку. В тот же день А.Брезвина на посту главы налоговой администрации сменил депутат от Блока Юлии Тимошенко, совладелец "Брокбизнесбанка" Сергей Буряк.
С июня 2010-го - глава правления "Укргазбанка". В 2011 году на этой должности его сменил Сергей Мамедов.
Был награждён орденами «За заслуги» III степени (10.1997), II степени (08.1999), I степени (10.2004); орденом «За розбудову України» им. М. Грушевского IV степени (04.2001); орденом Ярослава Мудрого V степени.
31 октября 2008 года в Киеве на Генеральном Конгрессе ФХУ на безальтернативной основе единогласно был переизбран на должность президента ФХУ.
25 октября 2012 года Анатолий Брезвин был повторно единогласно переизбран на должность президента Федерации хоккея Украины.
За время пребывания Анатолия Брезвина на посту президента ФХУ правительством Украины была принята государственная целевая программа «Хоккей Украины», в рамках реализации которой было построено 12 современных спортивных сооружений с искусственным льдом, первой из которых стал донецкий спорткомплекс «Лидер». Далее последовали арены в Калуше, Херсоне, Харькове. Также были реконструированы две главные крытые арены страны: Киевский Дворец спорта и ДС «Дружба» (Донецк).
14.12.2016