С сентября 1974 года по июль 1975 года учился в симферопольском Профессионально-техническом училище № 1. В 1983-м - Московский государственный историко-архивный институт.
С ноября 1975 года по ноябрь 1977 года служил в Советской армии.
С 1983 по 1984 год — архивист и старший архивист, а с 1984 года по 1991 год — директор, старший научный сотрудник Центрального государственного архива Октябрьской революции и социалистического строительства в Риге.
В 1989 году стал депутатом Рижского городского Совета народных депутатов от фракции Народный фронт Латвии.
С 1990 года по 1991 год был членом Государственной комиссии по проблемам крымскотатарского народа при Совете Министров СССР.
В 1994 году стал депутатом Верховного Совета Автономной Республики Крым. Был членом, а затем председателем постоянной комиссии Верховного Совета АРК по национальной политике и проблемам депортированных граждан.
С июля 1995 по апрель 1998 года — заместитель Председателя Верховного Совета. В 1998 году стал депутатом Верховной Рады Украины от Народного Руха. Чубаров был главой подкомитета по вопросам депортированных народов, национальных меньшинств и жертв политических репрессий Комитета Верховной Рады Украины по вопросам прав человека, национальных меньшинств и межнациональных отношений.
С 2000 года по 2002 год занимал должность первого заместителя председателя этого Комитета.
В 2002 году стал народным депутатом Верховной Рады Украины от блока партий «Наша Украина» (№ 61 в избирательном списке). Также стал первым заместителем председателя Комитета по вопросам прав человека, национальных меньшинств и межнациональных отношений.
С 2006 года по 2007 год — депутат Верховной Рады Украины V созыва от блока «Наша Украина». Также работал секретарём Комитета по вопросам прав человека, национальных меньшинств и межнациональных отношений.
В мае 2009 года стал президентом Всемирного конгресса крымских татар.
С ноября 2010 года — депутат Верховного Совета Автономной Республики Крым 6-го созыва, возглавлял партийный список Народного руха Украины.
27 октября 2013 года Курултай крымских татар новым главой крымско-татарского меджлиса избрал депутата Верховного Совета Крыма, бывшего первого зампреда меджлиса Рефата Чубарова.
4 мая 2014 года прокурор Крыма Наталья Поклонская вынесла предупреждение главе Меджлиса крымскотатарского народа Рефату Чубарову о недопущении ведения экстремистской деятельности. Предупреждение было зачитано лично Поклонской в здании Меджлиса в присутствии главы меджлиса Чубарова.
5 июля 2014 года Чубарову запретили въезд в Крым на 5 лет.
В октябре 2014 года Рефат Чубаров изначально не прошёл в Верховную Раду Украины по спискам Блока Петра Порошенко, однако в мае 2015 года стал народным депутатом, ввиду назначения депутата Степана Барны на должность несовместимую с парламентской деятельностью (главы Тернопольской областной администрации). Таким образом, Чубаров стал вторым представителем крымскотатарского народа в парламенте Украины. Кроме него, мандат есть также у Мустафы Джемилева.
В мае 2015 года в отношении Рефата Чубарова УФСБ по Крыму и Севастополю сообщило о возбуждении уголовного дела по ч. 2 ст. 280.1 УК РФ («Публичные призывы к осуществлению действий, направленных на нарушение территориальной целостности РФ, совершенные с использованием СМИ»). По версию ведомства, «в апреле 2015 года гражданин Украины Рефат Чубаров в интервью одному из украинских СМИ призвал вернуть Крым в состав Украины». По оценке главы аналитического центра «Сова» Александра Верховского, уголовное дело является «формой давления» на Чубарова и «Меджлис в целом», чтобы в перспективе создать «альтернативный Меджлис».
Отметим, что статья 280.1 Уголовного кодекса РФ предусматривает наказание в виде заключение на срок до 5 лет.
В июле Чубаров на въезде в Крым был уведомлен о том, что стал персоной нон-грата в России на пять лет. Однако в начале октября оккупационный Киевский райсуд Симферополя вынес постановление о заочном аресте Чубарова, после чего запрет на въезд для него был снят.
В ноябре 2015 года Интерпол прекратил инициированный Россией международный розыск Чубарова
11.11.2015