Народився 1 квітня 1968 року в місті Гельсінкі.
У 1986 році Стубб закінчив гімназію Мейнленда в місті Дейтона-Біч, штат Флорида, США. Через два роки закінчив шведську гімназію Ларкан в Гельсінкі, склав єдиний державний іспит.
У 1988—1989 роках пройшов службу в фінських збройних силах, єгерем в батальйоні Уусімаа. У 1989 році за успіхи в гольфі Стубб здобув спортивну стипендію для вступу до Фурманського університету в Південній Кароліні (США). Спочатку він вибрав підприємницьку спеціальність, а потім перевівся на політологічний факультет. У вільний від навчання час Стубб підробляв хокейним тренером, продавцем в крамниці спорядження для гольфу та стажистом на фабриці з виробництва паперу в Німеччині. Крім того, він представляв команду Фінляндії на міжнародних турнірах з гольфу.
У 1993 році Александр закінчив факультет політології Фурманського університету з відзнакою, ступень бакалавра (BA).
У 1994 році закінчив історичний факультет Паризького університету Сорбонна, захистив диплом з історії цивілізації французькою мовою.
У 1995 році закінчив Коледж Європи в Брюгге, здобув ступінь магістра (MA) з питань європейських справ, з 2000 року професор коледжу.
Володіє фінською, шведською, англійською, німецькою та французькою мовами.
У 1995—1997 роках Стубб працював радником у міністерстві закордонних справ Фінляндії.
У 1997—1998 роках займався дослідженнями в Фінській академії наук. У 1999 році Стубб здобув ступінь доктора філософії (PhD) в Лондонській школі економіки.
З 1999 по 2001 рік — спеціальний дослідник представництва Фінляндії в ЄС в Брюсселі, член фінської урядової делегації на міжурядових переговорах стосовно Ніццького договору. З 2001 року Стубб обіймав посаду радника президента Європейської комісії Романо Проді та був членом спеціальної комісії з розробки Європейської конвенції.
У 2003 повернувся до представництва Фінляндії при Європейському Союзі як спеціальний експерт і учасник міжурядових переговорів щодо європейської конституції.
У 2004 році обраний до Європейського парламенту від правоцентристської Національної коаліційної партії. Александр Стубб входив до європарламентської фракції Європейської народної партії — Європейських демократів (EPP-ED). Входив до комітету з бюджетного контролю, був віцепрезидентом комітету із захисту споживачів та внутрішнього ринку, брав участь у роботі конституційного комітету, вимагав збільшення витрат на перекладацьку службу Європарламенту.
1 квітня 2008 року, Александр Стубб одноголосно призначений міністром закордонних справ Фінляндії. Стубб обійняв посаду 4 квітня, здобувши від Канерви посаду голови Організації з безпеки та співробітництва в Європі (ОБСЄ), бо у 2008 році в організації головувала Фінляндія. На посаді міністра закордонних справ Стубб був прихильником входження Фінляндії до НАТО.
Під час війни в Південній Осетії в серпні 2008 року Стубб разом з французьким колегою Бернаром Кушнером і президентом Франції Ніколя Саркозі був одним з авторів плану мирного врегулювання. Александр Стубб, як голова ОБСЄ, засудив визнання Росією 26 серпня 2008 року незалежності Південної Осетії і Абхазії. Стубб назвав це рішення таким, що суперечить принципам організації, членом якої є Росія. Однак, він був проти введення санкцій проти Росії і вже 7 вересня оголосив про те, що задоволений співпрацею Москви з місією ОБСЄ в Південній Осетії.
Александр Стубб під час зустрічі з урядом України висловив підтримку євроінтеграційним прагненням України, і зазначив, що для досягнення цих цілей Україна має провести реформи, а також адаптувати своє законодавство до вимог ЄС. Також, виступаючи з лекцією в Інституті світової політики в Києві, Александр Стубб висловив сподівання, що Євросоюз і Україна підпишуть договір про зону вільної торгівлі вже 2011 року.
У 2011 році Стубб був обраний до парламенту Фінляндії від Національної коаліційної партії. У новому уряді, який було сформовано в червні 2011 року, Стубб обійняв посаду міністра з європейських справ і зовнішньої торгівлі.
У квітні 2014 року оголосив про свій намір боротися за посаду голови партії Національна коаліція і відповідно за крісло прем'єр-міністра в уряді. У разі своєї перемоги оголосив про намір активізувати роботу з приєднання Фінляндії до військового блоку НАТО.
14 червня 2014 був обраний прем'єр-міністром Фінляндії. Після програшу Національної коаліції на парламентських виборах 2015 року, Стубб склав повноваження прем'єр-міністра країни. Новим прем'єром був обраний Юга Сіпіля, в кабінеті якого обійняв посаду міністра фінансів.
11 червня 2016 року на черговому партійному з'їзді Стубб склав свої повноваження голови Коаліційної партії; новим головою було обрано міністра внутрішніх справ Петтері Орпо, він же обійняв посаду міністра фінансів. Орпо запропонував Стуббу обійняти посаду міністра зовнішньої торгівлі та розвитку, проте Стубб вважав за краще покинути уряд і зосередитися на роботі в парламенті.
У серпні 2017 року Стубб був призначений заступником генерального директора Європейського інвестиційного банку. У сферу його діяльності на цій посаді входять, зокрема, банківські операції в галузі кредитування, а також загальне керівництво проектами банку в країнах Північної Європи.
11 лютого 2024 року обраний президентом Фінляндії. Вступив на посаду 1 березня 2024 року.
З 1997 року Александр Стубб друкувався (понад 100 публікацій) в Ekonomi och Teknik-magazine, Ilta-Sanomat, Financial Times, Blue Wings, Apu, Suomen Lehtiyhtyma Nykypaiva і Hufvudstadsbladet. Був автором 10 книг та 30 статей з історії Європейського Союзу. На своєму офіційному сайті веде персональний блог, де розповідав про свою роботу в Європейському парламенті та міністерстві закордонних справ Фінляндії.
Захоплюється спортом (марафон, гольф, телемарк), літературою, веде власний блог.
Александр Стубб одружений з Сюзанною Іннес-Стубб. Вони виховують двоє дітей: доньку Емілію 2001 року народження і сина Олівера-Йохана 2004 року народження.
11.04.2024