В 2003 году окончил Донецкий институт внутренних дел при Донецком национальном университете.
В период с 1990 по 1992 годы проходил военную службу.
С 1994 по 2007 год служил на различных должностях в отделе по борьбе с организованной преступностью в милиции Горловки. Также служил в облуправлении милиции.
В 2007 году назначен на должность начальника Артемовского отдела по борьбе с организованной преступностью.
В 2011 году возглавил Знаменский горотдел милиции ГУМВД Украины в Кировоградской области.
В 2013 году назначен руководителем УБОП в Кировоградской области. После этого вернулся в Горловку. В апреле 2014 года, будучи руководителем горловской милиции, оборонял город и в частности управление милиции от террористов.
В апреле 2014 года отстреливался с полковником Приступой от террористов во время трехчасового штурма, сбросил российский флаг и российского наемника с крыши управления милиции. Российские СМИ сообщали, что позже Крищенко был убит, но украинские бойцы отбили его у террористов. Был при этом тяжело ранен.
20 июня 2014 года за мужество и героизм, проявленные в защите государственного суверенитета и территориальной целостности Украины, верность присяге награжден орденом "За мужество" III степени.
10 июля 2014 года назначен временно исполняющим обязанности Славянской РГА.
В декабре 2014 года назначен на должность начальника УБОП ГУМВД Украины в Донецкой области.
6 апреля 2015 года Андрей Крищенко назначен руководителем милиции Харькова.
15 декабря 2015 года Глава МВД Арсен Аваков назначил Андрея Крищенко заместителем главы Национальной полиции Украины – начальником Главного управления Национальной полиции в городе Киеве.
В январе 2017 года Андрей Крищенко решил поучаствовать в конкурсе на замещение вакантной должности главы Нацполиции Украины. Однако позже отказался от участия в конкурсе.
10 августа 2021 года Андрей Крищенко подал в отставку.
23 сентября 2021 года Андрей Крищенко назначен заместителем главы Киевской городской государственной администрации по вопросам осуществления самоуправленческих полномочий.
11.08.2021