1984-1988 - секретарь Ворошиловградского обкома профсоюза рабочих химической и нефтехимической промышленности. 1988-1989 - начальник цеха централизованного ремонта завода товаров народного потребления Северодонецкого производственного объединения «Азот». 1989-1996 - председатель профсоюзного комитета предприятия. 1996-1997 - директор завода товаров народного потребления.
1997-2000 - директор по коммерческим и общим вопросам. 2000-2005 - генеральный директор Северодонецкого государственного производственного предприятия «Объединение Азот», 2005-2006 - председатель Наблюдательного совета ЗАО «Северодонецкое объединение Азот».
25.05.2006-23.11.2007 - народный депутат Украины V созыва. Избран по многомандатному общегосударственному округу от Социалистической партии Украины, № 13 в списке.
С 30.03.2010 - народный депутат Украины VI созыва. Избран по многомандатному общегосударственному округу от Партии регионов, № 203 в списке.
В 2012 г. Кунченко баллотировался в парламент по округу №106. Здесь он получил 41,41% голосов, хотя его основной конкурент, самовыдвиженец Юрий Фурман, набравший 17,32%, смог устроить "регионалу" нелегкую предвыборную кампанию.
Лучшие годы Алексея Кунченко как главы крупнейшего предприятия по производству химической продукции, в структуру которого входят 50 подразделений: «Органический синтез», минеральных удобрений и кислот, «Полиэтилен»; цеха по производству аммиака, кетонов и органических кислот и другие вспомогательные структурные подразделения по ремонту и обслуживанию, приходится на период, когда завод связывали с бизнесменом Алексом Ровтом. То есть с 2004 года по 2011 год. В 2011 году предприятие приобрел бизнесмен Дмитрий Фирташ, после чего многое поменялось на заводе.
21.08.2014