В 1951 году окончил школу, в 1956 году — физико-математический факультет Белорусского государственного университета (БГУ), в 1959 — аспирантуру Института физики Академии наук Белорусской ССР.
Специалист в области радиоэлектроники. Тема докторской диссертации: «Информационные параметры сигналов».
1960—1961 — старший инженер СКБ Минского радиозавода. Во время работы на радиозаводе Шушкевич являлся куратором работавшего там тогда же будущего убийцы Кеннеди Ли Харви Освальда, обучал его русскому языку.
1961—1967 — старший инженер, главный инженер, заведующий сектором лаборатории Белорусского государственного университета им. В. И. Ленина
1967—1969 — проректор по научной работе Минского радиотехнического института
1969—1986 — доцент, профессор, заведующий кафедрой ядерной физики Белорусского государственного университета им. В. И. Ленина
1986—1990 — проректор Белорусского государственного университета им. В. И. Ленина
Неоднократно приглашался читать лекции в зарубежных университетах.
1989—1991 — народный депутат СССР, член Межрегиональной депутатской группы.
1990—1995 — депутат Верховного Совета Беларуси.
1990—1991 — первый заместитель Председателя Верховного Совета Беларуси. В августе 1991 выступил против ГКЧП, подписал заявление с его осуждением. 9 сентября 1991 избран Председателем Верховного Совета Беларуси.
7—8 декабря 1991 — участник встречи в Беловежской пуще (Вискули) с Президентами России Борисом Ельциным и Украины Леонидом Кравчуком, где было принято решение о ликвидации СССР и создании СНГ. В качестве главы белорусского парламента поставил подпись под Беловежским соглашением.
В 1991 году ввёл государственный флаг и герб. В этом же году председатель партии БНФ Зенон Позняк инициировал референдум о роспуске Верховного Совета и проведении досрочных парламентских выборов,но Шушкевич отклонил инициативу, заручившись поддержкой большинства парламентариев.
В 1992 году он начал создавать белорусские вооружённые силы,ввёл национальную валюту.
В 1993 году ратифицировал Международный пакт о гражданских и политических правах.
Шушкевич легализовал Греко-католическую церковь.
26 января 1994 года снят с поста председателя Верховного Совета Республики Беларусь (по результатам работы парламентской комиссии, возглавляемой Александром Лукашенко) по «Делу о краже ящика гвоздей» для строительства дачи (Так называемое «Дело о цвiке»), которое, возможно, было сфабриковано для устранения конкурента на политическом поле.
Активный деятель белорусской оппозиции. Председатель партии Белорусская социал-демократическая Громада́ (с 1998).
В 2007 году Лех Валенса номинировал Шушкевича на соискание Нобелевской Премии мира за 2007 год.
В программе «Поединок» (выпуск от 14.04.2011) назвал Беловежское соглашение «великим подвигом великих людей».
За участие в оппозиционной акции «Собрание Белорусского национального конгресса», прошедшей 15 мая 2016 года в минском парке Янки Купалы, Шушкевич получил штраф в размере 6,3 млн рублей.
По состоянию на 2014 год Станислав Станиславович живёт в Польше, где преподаёт в одном из университетов страны.
01.12.2016