В 2000 году окончил Институт международных отношений при Киевском университете имени Т.Г. Шевченко, где получил степень магистра международных экономических отношений.
Его отец — Владимир Павлович Коболев — главный научный сотрудник Института геофизики НАН Украины, профессор кафедры геофизики Киевского национального университета имени Тараса Шевченко.
В 2017 году Коболев развелся с женой. У Коболевых есть трое детей.
С 2002 года работал в НАК "Нафтогаз Украины", начинал с должности главного специалиста департамента экономики и ценовой политики.
С 2006 по 2007 год занимал должность директора департамента корпоративных финансов и ценовой политики.
В 2008-2010 годах — советник председателя правления компании.
С 2010 года — партнер в частной инвестиционно-банковской группе AYA Capital.
В марте 2014 года Андрей Коболев был назначен председателем правления НАК "Нафтогаз Украины".
В октябре 2014 года Коболев был избран главой наблюдательного совета НАК "Нафтогаз Украины".
С 25 марта 2014 по 28 апреля 2021 - председатель правления Национальной акционерной компании «Нафтогаз Украины». .