В 1967 году окончил Киевский институт народного хозяйства.
В 1979-м - спецфакультет по подготовке руководящих кадров в области валютных операций, международного кредита и международных расчетов при Московском финансовом институте. Кандидат экономических наук.
С июня 1969-го он работает в правлении (главном офисе) Госбанка СССР в Москве: начальником отдела в управлении кредитования машиностроительной промышленности, начальником отдела долгосрочного кредитования колхозов, начальником кредитно-планового отдела.
В 1979-1981 гг. - заместитель начальника управления иностранных банковских кредитов Банка внешней торговли СССР в Москве.
В 1981-1986 гг. Стельмах находится в долгосрочной загранкомандировке на Острове Свободы в роли советника министра - президента Национального банка Кубы.
По возвращении в Советский Союз снова работает в Москве: сперва заместителем начальника управления кредитования внешнеэкономических связей Банка внешней торговли, затем замначальника разных управлений Госбанка. Московский этап карьеры Стельмах закончил в 1992 году на посту первого замначальника управления методологии кредитно-расчетных отношений Госбанка СССР.
1992-1993 гг. - член правления, начальник главного управления методологии банковских технологий Национального банка Украины (НБУ).
1993-1999 гг. - первый заместитель председателя НБУ Виктора Ющенко. После назначения Ющенко премьер-министром в 1999-2000 гг. Стельмах исполняет обязанности главы НБУ. С января 2000 по январь 2003 гг. - председатель Нацбанка.
По словам Стельмаха, одним из основных инициаторов его отставки стал тогдашний премьер-министр Анатолий Кинах, который хотел покрыть недостаток поступлений в госбюджет-2002 дополнительной эмиссией денег. Глава НБУ был категорически против такого шага, поскольку он был чреват скачком инфляции.
В 2003-2004 гг. Стельмах - глава наблюдательного совета акционерного банка Брокбизнесбанк.
16 декабря 2004 года во второй раз становится главой Нацбанка Украины. Формально сменил на этом посту Сергея Тигипко, который вторую половину 2004-го занимался продвижением премьера Виктора Януковича в президенты Украины в качестве руководителя его избирательного штаба. Фактически же в то время Нацбанком руководил Арсений Яценюк.
Осенью 2007-го на досрочных парламентских выборах Стельмах проходит в Верховную Раду под №28 списка пропрезидентского блока Наша Украина - Народная самооборона. На должность председателя Нацбанка наблюдатели уже начали "сватать" главу совета НБУ Петра Порошенко. Однако неожиданно для многих Стельмах отказался от депутатского мандата в пользу кресла главы Национального банка Украины.
23 декабря 2010 года Верховная Рада уволила Стельмаха. Президент внес соответствующее представление в ВР в связи с достижением главой Нацбанка пенсионного возраста. В тот же день он был назначен внештатным советником президента Виктора Януковича.
24 февраля 2014 года Стельмах уволен с должности советника главы государства указом и.о. президента Украины Александра Турчинова.
В мае 2015 года экс-глава Национального банка Украины возглавил Наблюдательный Совет ПриватБанка.
18.05.2015