В 1992 году окончил исторический факультет Тбилисского университета (специализация «новейшая история Европы и США», с отличием);
В 1993 году - Школу государственной службы имени Роберта Вагнера Нью-Йоркского университета (магистерская степень).
Супруга Александра, Николь, — внучка Ноя Жордании, председателя правительства Грузинской Демократической Республики.
После возвращения в Грузию в 1993 году работал в грузинском представительстве Программы развития ООН (ПРООН) в качестве специалиста в области администрирования и финансов.
В 1995-1997 годах — заместитель, исполняющий обязанности руководителя грузинской миссии комитета помощи объединенной методистской церкви.
В 1997 году — президент грузинской неправительственной организации "Международный фонд "Курацио", специализирующегося на реформировании систем здравоохранения в странах с переходной экономикой.
С 2002 года — национальный эксперт-координатор Программы развития ООН в области образования, здравоохранения и социальных проблем.
Был консультантом различных международных организаций. Опубликовал ряд аналитических работ по реформам здравоохранения и проблемам социальной защиты. Занимал руководящие должности в международной организации EastWest Institute.
С 31 января 2008 года по 31 августа 2010 года — министр здравоохранения, труда и социальной защиты Грузии.
В 2010—2013 годах — ректор Тбилисского университета. Осенью 2013 года возглавлял избирательный штаб кандидата в президенты Грузии Давида Бакрадзе.
2 декабря 2014 года Верховная Рада назначила Александра Квиташвили на пост министра здравоохранения.
Подал в отставку 2 июля 2015 года.