В 1957 году он окончил Московский архитектурный институт и отметил это событие стихами: "Прощай, архитектура! Пылайте широко, коровники в амурах, сортиры в рококо!..".
Вознесенский начал публиковаться с 1958 года. Официальные критики ругали поэта. В 1963 году на встрече с интеллигенцией в Кремле Хрущев подверг поэта резкой критике и в запале кричал ему: "Забирайте ваш паспорт и убирайтесь вон, господин Вознесенский!". Однако, несмотря на временные опалы, его стихи продолжали издаваться большими тиражами.
Помогло личное вмешательство президента США Кеннеди, позвонившего Хрущёву лично и попросившего смягчить судьбу поэта. Вознесенскому разрешили выехать в США для выступлений. Он сразу же стал самым популярным из русских поэтов в США. Его стихи переводил Роберт Кеннеди. Вознесенский сдружился с поэтом-битником Алленом Гинзбергом. Вознесенский друг семьи Артура Миллера. Его встреча с Мерилин Монро запечатлелась в строках: «Я Мерилин Мерилин/Я героиня/Самоубийства и героина».
Вознесенского продолжают травить. Развязана кампания по дискредитации его имени. На улице Горького в окнах сатиры уже в 60-х годах изображён рабочий, выметающий «нечисть» метлой. Среди сора-нечисти изображён Вознесенский со сборником «Треугольная груша». Положение поэта в СССР двойственно, с одной стороны, партийные бонзы заискивают перед его мировой славой, с другой — запрещено упоминание его имени в прессе без специального разрешения идеологического отдела ЦК КПСС. Выходящие по тогдашним меркам малыми тиражами сборники почти не появлялись на прилавках, а продавались из-под полы и распределялись как копчёная колбаса среди партийных вельмож, которые вряд ли что-либо смыслили в этой поэзии. Дошло до того, что Вознесенского сплошь и рядом стали путать с популярным комсомольским поэтом Робертом Рождественским.
Стихотворный сборник «Антимиры» послужил основой знаменитого спектакля Театра на Таганке в 1965 г. На стихи поэта написаны популярные эстрадные песни: «Плачет девочка в автомате», «Барабан», «Вслед за мной на водных лыжах ты летишь…» и главный хит «Миллион алых роз», где поэт в стихах пересказал новеллу Паустовского о любви художника Пиросмани к одной певице. Лирико-драматическая поэма «Юнона и Авось» на музыку Рыбникова до сих пор не сходит со сцены. Это была одна из первых рок-опер в СССР (наиболее известен романс «Ты меня никогда не забудешь, ты меня никогда не увидишь»).
Стих "Тысяча девятьсот восемьдесят два" в авторском исполнении Андрея Вознесенского. Фрагмент фильма-концерта «Маэстро», 1982 год.
"Юнона и Авось"
"Миллион алых роз"
Оголтелая кампания по дискредитации имени поэта повлияла не столько на современников, сколько на последующие поколения. Появился миф о благополучном шестидесятнике-конформисте, якобы обласканном властями и издаваемом крупными тиражами.
Вознесенский — автор архитектурной части монумента «Дружба навеки» в честь двухсотлетия присоединения Грузии к России на Тишинской площади в Москве. Скульптурная часть памятника выполнена Зурабом Церетели.
Вознесенский дружен со многими деятелями искусства, о встречах с которыми он пишет воспоминания в статьях и романах. Он собеседник Сартра, Хайдеггера, Пикассо. Жил и работал в Москве в Переделкине по соседству с дачей-музеем Бориса Пастернака, где два раза в год, 6 февраля (день рождения Пастернака) и 30 мая (день смерти поэта) проводил поэтические чтения.
Скончался 1 июня 2010 года после продолжительной болезни на 78-м году жизни у себя дома в Москве. В 2010 году Андрей Вознесенский перенёс второй инсульт, после которого он окончательно не оправился. Первый инсульт поэт пережил 4 года назад.