Борис Возницький народився в селі Ульбарів (тепер Рівненська область), брав участь у Другій світовій війні, закінчив Львівське художнє училище, Ленінградський художній інститут за спеціальністю мистецтвознавець.
В інтерв’ю інтернет-виданню «Остров» Борис Возницький розповідав: «І коли я вчився в Лєнінграді, то мене трохи чорти брали: їдеш – палаци, Пєтродворєц, Павловськ, а у нас в Україні нічого немає. Я вчився на мистецтвознавчому, то у нас тільки у 63-му році почали читати курс "Искусство народов СССР". А так – тільки Росія і Європа. Мені це було образливо. І я, коли вже все закінчив, вирішив, що буду піднімати якось українське мистецтво.
Мені пощастило, я бував багато за кордоном – я працюю директором вже п’ятдесят років, і був включений у міжнародну раду музеїв. Я побачив світ, побачив, що і як робиться, і вирішив, що і в нас треба щось робити. І я поїхав.
1960-і, 70-і, частина 80-х років – це найактивніша частина мого життя, ми тоді зібрали більше тридцяти тисяч речей, які оцінені зараз десь у сімнадцять мільярдів євро. Але справа не в оцінці, гроші – то так собі. Але те, що ми привезли - то є, а те, чого ми не привезли, майже знищене.
Я порахував, у тридцятих роках в Україні зникло п'ятнадцять тисяч церков. А в кожній церкві був іконостас, а іконостас – це тридцять ікон, - і це все зникло. Півмільйона ікон пропало: спалили, викинули – не знаю».
Борис Возницький більше 40 років очолював найбільший художній музей України – Львівську картинну галерею, віднайшов десятки тисяч експонатів, відкрив багато філій; з 2013 року Львівська картина галерея носить ім’я Бориса Возницького.
Він об’єднав стародавні замки Галичини - Олеський, Золочівський, Підгорецький та Свірзький - у «Золоту підкову», відродив славу видатного скульптора Іоанна Георга Пінзеля і зробив його виставку в Луврі, він – засновник музеїв «Олеський замок» (1975), Музей книги(першодрукаря Івана Федорова) (1976), Музей-садиба Маркіяна Шашкевича (1986), Музей найстаріших пам’яток Львова(1990), Музей «Русалки Дністрової»(1991), музей оборонної архітектури XVII століття в «П’ятничанській вежі» (1993), музей Іоанна Георга Пінзеля (1996); він комплектував фонди палацу Роумовського в Батурині, врятував багато пам’яток сакрального мистецтва.
86-річний Борис Возницький загинув в автокатастрофі в 2012 році. У 2013 році «Мистецький Арсенал» започаткував Премію імені Бориса Возницького «За вагомий особистий внесок у розвиток музейної справи». У 2013 році лауреатом премії став засновник та перший директор Національного музею-заповідника українського гончарства в Опішному Олесь Пошивайло, у 2015-му – головний хранитель музею-заповідника Олеський замок Тетяна Сабодаш.